Weighted estimates for multilinear maximal functions and singular integral operators

Resumen

El principal objetivo de esta Tesis es el estudio de desigualdades con pesos para diferentes operadores del análisis armónico en dos ambientes diferentes: los espacio de tipo homogéneo y en el contexto euclídeo multilineal. La primera parte del presente trabajo se centra en el estudio de acotaciones fuertes y débiles con pesos de operadores de Calderón-Zygmund que generalizan a espacios de tipo homogéneo la situación del espacio euclídeo Rn. Nuestro objetivo es la obtención de cotas formadas por al menos dos constantes Ap diferentes de manera que estas cotas mixtas sean estrictamente más pequeñas que las clásicas formadas por una constante. Asimismo, se generalizan desigualdades como la de John-Nirenberg y la desigualdas de Hölder al revés, las cuales serán herramientas fundamentales de cara a determinar acotaciones óptimas para los operadores de Calderón-Zygmund y los conmutadores de estos operadores con funciones de BMO. La segunda parte de esta monografía se centra en el estudio de las desigualdades con pesos para la función maximal y multilineal y operadores integrales singulares multilineales así como la determinación de las constantes óptimas para la acotación de dichos operadores. Con respecto al problema de determinación de las constantes óptimas para la función maximal multilineal, se consigue una cota mixta que mezcla la constante múltiple Ap con un producto de constantes A8. También se extienden total o parcialmente otros resultados en el contexto múltiple de uno y dos pesos como los teoremas de S. Buckley y E. Sawyer, respectivamente. Asimismo, se establece el control en norma de los operadores multilineales de Calderón-Zygmund e integrales singuales multilineales con núcleos no suaves por operadores multilineales de tipo sparse. Como consecuencia de este resultado se deriva un análogo del teorema A2 para ambos tipos de operadores. Finalmente, se estudia la compacidad de los conmutadores de diferentes operadores con símbolos en un subespacio de BMO. Por un lado, el estudio se centra en los conmutadores de una clase de operadores bilineales que extiende el caso de los operadores de Calderón-Zygmund. También se estudia el caso de los conmutadores de una familia de operadores bilineales fraccionarios más singulares que pueden verse como la versión fraccionaria de la transformada de Hilbert bilineal. Por otro lado, se estudian las clases de pesos múltiples para los cuales se tiene que los conmutadores de operadores de Calderón-Zygmund bilineales son compactos en espacios de Lebesgue con pesos.