Análisis armónico para medidas no dodlantes, operadores maximales con respecto a la medida gaussiana.

Resumen

Uno de los grandes logros del Análisis Armónico en el pasado siglo, fue la introducción de la función maximal de Hardy-Littlewood que permitió esclarecer determinados fenómenos de convergencia, entre ellos el Teorema de diferenciación de Lebesgue, Su importancia fue aún más relevante con el desarrollo de la teoría de integrales singulares de Calderón y Zygmund, puesto que aquel operadorb controla en cierta forma las singularidades de éstas. Desde entonces, ha habido un notable interés en conocer en qué otras formas y contextos es posible definir este operador maximal manteniendo sus propiedades de regularidad y acotación, por ejemplo sustituyendo las bolas Euclídeas por otros cuerpos geométricos o cambiando la medida subyacente de Lebesgue por otras medidas anisotrópicas. El objetivo de la tesis es el de profundizar en el estudio del siguiente problema: Determinar condiciones bajo las cuales el operador maximal de Hardy-Littlewood asociado a una medida de Borel , es un operador acotado sobre el espacio de Lebesgue o en algún espacio de Orlicz. La respuesta a esta pregunta en el espacio Euclídeo unidimensional es fácil de encontrar utilizando un sencillo lema geomérico de recubrimiento. En este caso se deduce que el operador maximal asociado a cualquier medida, es de tipo débil (1,1). En dimensión mayor, el mismo resultado es cierto si suponemos que la medida es doblante, porque en este caso se puede utilizar el lema de Vitali. También se conocen resultados en el otro sentido. El ejemplo de P. Sjögren demuestra que el operador maximal asociado a la medida Gaussiana, una medida radial que es claramente no doblante, no es de tipo débil (1,1). Este resultado fue generalizado por A. Vargas en donde presenta condiciones que caracterizan las medidas invariantes porrotaciones con soporte en todo el espacio, de modo que el operador maximal asociado a esta medida sea de tipo débil (1,1). Sededuce de este traba