Sistemas de Lie y sus aplicaciones en física y teoría de control

Abstract

Se estudia la estructura geométrica de los llamados sistemas de Lie y algunas aplicaciones de tal estudio en física y teoría de control, Resumimos las principales contribuciones originales de la Tesis. En el capítulo 1 se presenta el Teorema de Lie que caracteriza tales sistemas y se encuentra una acción afín del grupo de curvas en SL(2,R) sobre el conjunto de ecuaciones de Riccati. En el capítulo 2 se formula la teoría geométrica de los sistemas de Lie en grupos de Lie y espacios homogéneos. Se generalia la acción afín anterior al caso de un sistema de Lie arbitrario. Se generaliza el método de Wei-Norman y se desarrolla una técnica de reducción de sistemas de Lie. Se establece la relación de los sistemas de Lie con conexiones en fibrados principales y asociados. En el capítulo 3 se ilustra la aplicación de la teoría a diferentes sistemas de Lie de interés. En el capítulo 4 se aplica la teroría a problemas de mecánica cuántica unidimensional, en concreto a los problemas de operadores entrelazados, transformaciones de Darbouz y mecánica cuántica supersimétrica, así como a los problemas llamados invariantes de forma. En el capítulo 5 se usa la acción afín sobre el conjunto de ecuaciones de Riccati para explicar el algoritmo de diferencias finitas y el problema de los Hamiltonianos entrelazados. Se generalizan las transformaciones de Darboux de ecuaciones diferenciales de segundo orden. En el capítulo 6 se aplica la teoría a sistemas Hamiltonianos clásicos y cuánticos que además pueden considerarse como sistemas de Lie. Finalmente, en el capítulo 7 se muestran aplicaciones en la teoría geométrica de control. Se establecen nuevas relaciones entre sistemas de control, identificando sistemas en base a su estructura algebraica, y por medio de la mencionada técnica de reducción. Se emplea sistemáticamente el método generalizado de Wei-Norman en tales sistemas.