Estructura de grupos finitos y propiedades aritméticas de los tamaños de clase de conjugación

Resumen

En este trabajo se estudia la relación existente entre la estructura de un grupo finito y los tamaños de clases de conjugación de sus elementos. En el primer capítulo se recopilan los conceptos básicos sobre tamaños de clase de conjugación en un grupo finito. En el segundo capítulo se recogen los resultados preliminares que se han necesitado para abordar los problemas planteados sobre los tamaños de clases de conjugación. El tercer capítulo está dedicado al estudio de la p-estructura del grupo a partir de los tamaños de clase de los elementos p-regulares del grupo. En el cuarto capítulo se investiga la estructura de los grupos a partir de los tamaños de clases de conjugación de elementos de orden potencia de primo. Se demuestra que si G es un grupo p-resoluble con tamaños de clase de conjugación de p'-elementos de orden potencia de primo 1 y m, entonces m es producto de potencias de dos primos distintos y, o bien G tiene p-complemento abeliano, o bien G es producto directo de un {p,q}-grupo por un subgrupo abeliano. También se demuestra que si G es un grupo con dos tamaños de clases de lementos de orden potencia de primo, entonces es nilpotente. En el quinto y último capítulo se estudia la estructura de los subgrupos normales de un grupo, bajo ciertas condiciones aritméticas sobre los tamaños de las G-clases de conjugación que contienen. Se demuestra que si N es un subgrupo normal de G tal que los tamaños de G-clases de N son 1 y m, para algún entero m, entonces N es abeliano o es producto directo de un p-grupo no abeliano por un subgrupo central de G, y por tanto, es nilpotente. También se demuestra que si G es un grupo finito y P es un p-subgrupo normal no abeliano de G, con dos tamamños de G-clases de conjugación, entonces P módulo centro de G intersención P, y en particular P sobre el centro de P, tienen exponente p.