Desigualdades con pesos en el análisis de Fourierde los espacios de tipo homogéneos a las medidas no doblantes

Resumen

Dentro del Análisis de Fourier, la condición de medida doblante ha desempeñado un papel fundamental para el desarrollo de una teoría de Calderón-Zygmundo satisfactoria, La aparición en estos últimos años de resultados que afirman que dicha condición no es necesaria ha supuesto toda una revolución. El objeto de la memoria presentada consiste en estudiar cómo se comporta la teoría de pesos en estos contextos no homogéneos en comparación con aquéllos en los que las medidas son doblantes. En la primera parte de la memoria se trabaja en un espacio métrico y se exige que la medida de las bolas esté controlada por cierta potencia positiva de su radio. Se estudian desigualdades con dos pesos para operadores de Calderón-Zygmundo; si 1< p > --, se obtienen condiciones suficientes sobre el peso en uno de los lados para que exista otro peso en el otro lado y se verifique la corespondiente desigualdad Lp con dos pesos. La maquinaria utilizada se basa en el desarrollo de una teoría de Calderón-Zygmund vectorial en espacios no homogéneos. Esta teoría vectorial también permite considerar el mismo problema asociado al operador maximal de las integrales truncadas. El principal ejemplo es el operador integral de Cauchy que en el caso del problema de pesos anterior proporciona resultados más finos. Se prueba que las Clases de pesos obtenidas son también necesarias. Por otro lado, como consecuencia de las desigualdades con dos pesos para el supremo de las integrales de Cauchy truncadas, se caracteriza la existencia del valor principal para funciones en espacios de Lebesgue con peso. La segunda parte de la memoria estudia desigualdades con dos pesos para funciones maximales radiales fraccionarias en Rd con medidas del tipo anterior. Caracterizamos aquellos pares de pesos para los cuales estos operadores maximales satisfacen desigualdades fuertes o débiles con dos pesos. Dichas estimaciones están gobernadas respectivamente por