Generalized Poincaré-Sobolev inequalities

Résumé

Las desigualdades de Poincare¿-Sobolev son herramientas muy potentes en ana¿lisis matema¿tico que han sido ampliamente utilizadas para el estudio de ecuaciones diferenciales y su validez esta¿ i¿ntimamente relacionada con la geometri¿a del espacio ambiente. En particular, dada su aplicabilidad como parte del me¿todo de iteracio¿n de Moser, sus versiones con pesos resultan de intere¿s para aplicaciones. El objetivo de esta tesis es presentar un estudio autocontenido de las desigualdades de Poincare¿- Sobolev, la teori¿a de pesos y la combinacio¿n de ambas en el marco de la teori¿a abstracta de automejora de desigualdades de Poincare¿-Sobolev generalizadas. Con este fin, se introducen los aspectos ba¿sicos de la teori¿a de las desigualdades de Poicare¿-Sobolev y de la teori¿a de pesos de Muckenhoupt. En relacio¿n con estos, se estudia la clase de las funciones con oscilaciones medias acotadas, junto con una caracterizacio¿n de estas por medio de algunos resultados de acotacio¿n para conmutadores de integrales fraccionarias. Se utilizan nuevas te¿cnicas de automejora para llevar a cabo un estudio unificado de las desigualdades de Poincare¿-Sobolev cla¿sicas y fraccionarias con pesos, adema¿s de un estudio de los pesos de Muckenhoupt en relacio¿n con las funciones con oscilaciones medias acotadas.