Characters, fields of values and conjugacy classes in finite groups

Résumé

Sea G un grupo finito. Un carácter ordinario de G se llama racional si solo toma valores racionales en G, y una clase de conjugación de G se llama racional si todos los caracteres de G toman en ella únicamente valores racionales. En la tesis se estudian los siguientes problemas sobre clases de conjugación racionales y caracteres racionales de grupos finitos. (1) En general, el número de clases de conjugación racionales de un grupo G no es igual al número de caracteres irreducibles racionales de G. En la tesis se demuestra que si G es un grupo cuyos 2-subgrupos de Sylow son cíclicos, entonces el número de clases de conjugación racionales de G coincide con el número de caracteres irreducibles racionales de G. (2) Otro resultado de la tesis proporciona un cota superior logarítmica para la 2-longitud de un grupo resoluble G, en función del número de caracteres irreducibles racionales de grado impar de G, y se muestra que dicha cota es óptima. Este resultado se extiende a grupos p-resolubles, donde p es un primo impar. (3) Se caracterizan los 2-grupos diédrico, semidiédrico y cuaternio generalizado, es decir los 2-grupos de clase de nilpotencia maximal, como aquellos 2-grupos que tienen precisamente 5 clases de conjugación racionales. (4) Se determinan exactamente los primos que pueden dividir el orden de un grupo resoluble cuyos caracteres irreducibles son racionales o cuadráticos. Más generalmente, se prueba que si el cuerpo de valores de cada carácter irreducible de un grupo resoluble G es una extensión de grado a lo sumo k sobre el cuerpo de los números racionales, entonces los primos que dividen el orden de G están acotados por una función que depende solo de k.